Résoudre une équation du second degré, étape par étape

Une équation du second degré est une équation que l’on peut écrire sous la forme $ax^2 + bx + c = 0$, avec $a \ne 0$. L’objectif est toujours le même : trouver les valeurs de $x$ qui la vérifient. Ce sont les solutions, ou racines, de l’équation.

Méthode 1 : la factorisation

Si le trinôme se factorise facilement, c’est la voie la plus rapide. On le réécrit comme un produit de deux facteurs, puis on utilise le fait qu’un produit nul a forcément un facteur nul.

Méthode 2 : la formule des solutions

Quand la factorisation ne saute pas aux yeux, la formule des solutions (dite aussi formule quadratique) fonctionne toujours. Pour $ax^2 + bx + c = 0$ :

L’expression sous la racine, $b^2 - 4ac$, est le discriminant. S’il est positif, il y a deux solutions réelles ; s’il est nul, une seule ; s’il est négatif, les solutions sont complexes.

Pas envie de le faire à la main ?

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Méthode 3 : la forme canonique

Cette méthode réécrit l’équation comme un carré parfait plus une constante : c’est la mise sous forme canonique, en complétant le carré. C’est la plus longue à la main, mais c’est d’elle que découle la formule des solutions, et elle est indispensable pour trouver le sommet d’une parabole.

Prenons $x^2 + 6x + 5 = 0$. Déplacez la constante, prenez la moitié du coefficient de $x$ et élevez-la au carré, puis réécrivez : $(x+3)^2 = 4$, ce qui donne $x = -1$ ou $x = -5$.

Quelle méthode choisir ?

• Factorisation : à essayer d’abord ; la plus rapide quand les nombres s’y prêtent.
• Formule des solutions : la valeur sûre qui fonctionne toujours.
• Forme canonique : quand il vous faut aussi le sommet ou une démonstration.

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